· demi, placé devant un nom ou un adjectif, est invariable et est toujours suivi d'un trait d'union :

Exemple :
Je voudrais du lait demi-écrémé.

Lorsqu'il est suivi d'un nom, demi est un adjectif. Lorsqu'il est suivi d'un adjectif, demi est un adverbe.

Exemple :

C'est la demi-finale de football ! (adjectif)

La bouteille est demi-pleine. (adverbe)

· demi, placé après un nom et précédé de et, s'accorde en genre mais pas en nombre. Il n'y a donc pas de trait d'union. Dans ce cas-là, demi est un adjectif :

Exemple :
Le petit déjeuner est servi entre 8 heures et 9 heures et demie.

37 ou 37 et demi.

Remarque :
La locution adverbiale à demi est invariable. Elle se rapporte le plus souvent à un adjectif :
à demi nus, à demi morts, etc.

· lorsque demi est employé seul, c'est un nom.

Il varie donc en genre et en nombre. Il signifie la moitié d'un objet ou d'une unité sans pour cela toujours préciser cet objet ou cette unité.

Exemple :

On ne sert plus après la demie ! (sous-entendu la moitié d'une heure)

Puis-je avoir deux demis ? (sous-entendu la moitié d'un demi-litre de bière)